Расчёт стальной балки по ДБН В.2.6-198:2014: прочность, устойчивость, прогиб

Что проверяют в балке

Для шарнирно опёртой балки из прокатного двутавра проверяют:

• прочность по нормальным напряжениям от изгиба (п. 9.2.1, формула 9.1);
• прочность по касательным напряжениям от поперечной силы (формула 9.2);
• общую устойчивость: не потеряет ли сжатый пояс устойчивость из плоскости изгиба (п. 9.4);
• местные напряжения в стенке под сосредоточенной нагрузкой или над опорой, если она есть (п. 9.2.2, формулы 9.6–9.7);
• прогиб. Это вторая группа предельных состояний, и нормы для него отдельные (ДСТУ Б В.1.2-3:2006).

Местную устойчивость стенки и полок прокатных двутавров из стандартного сортамента проверяют по п. 9.5. В примере ниже её не рассматриваем.

Исходные данные

Сначала собирают исходные данные. В таблице видно, откуда берётся каждая величина и что принято в примере. Геометрию двутавра берут из сортамента двутавров.

Класс последствий СС2 принят условно, для иллюстрации. В реальном проекте его и категорию устанавливает проектировщик по ДБН В.1.2-14 и приложению А ДБН В.2.6-198.

Две разные «категории»: не путать

«Категория ответственности» (А, Б, В), от которой зависит γn по ДБН В.1.2-14, и «категория по назначению» по п. 5.3.5 и таблице А.1 ДБН В.2.6-198 — не одно и то же. Для балок последняя относится к А или Б, в зависимости от назначения.

Если нормы проектирования не распределяют конструкции по категориям ответственности, по примечанию 1 к таблице 5 ДБН В.1.2-14 принимают категорию Б. Для СС2 в установившейся расчётной ситуации это γn = 1,050 для первой группы предельных состояний и 0,975 для второй (во второй группе для СС2 значение одинаково для всех категорий).

Шаг 1. Усилия от нагрузки

Для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой:

M = q·l² / 8; Q = q·l / 2

В примере: M = 6,2 · 6² / 8 = 27,9 кН·м; Q = 6,2 · 6 / 2 = 18,6 кН.

Шаг 2. Расчётные сопротивления стали

Расчётное сопротивление при растяжении, сжатии и изгибе Ry берут из таблицы Г.2 по классу прочности и толщине, а для фасонного проката по толщине полки. Полка двутавра № 20 толщиной 8,4 мм попадает в диапазон «от 4 до 10 мм». Для стали С255 расчётное сопротивление фасонного проката Ry = 250 Н/мм² (характеристическое Ryn = 255 Н/мм²).

Сопротивление сдвигу берут по таблице 7.1:

Rs = 0,58 · Ryn / γm

Коэффициент надёжности по материалу γm = 1,025 (таблица Г.2, сноска 3, и таблица 7.2), поэтому Rs = 0,58 · 255 / 1,025 ≈ 144 Н/мм².

Примечание 2 к таблице Г.2 разрешает повысить сопротивление Ryw стенок горячекатаных двутавров и швеллеров на 10 % по сравнению с Ry. В примере этот запас не использован.

Шаг 3. Прочность по нормальным напряжениям

Для балок в расчётных сечениях 1-го класса (упругая работа) действует формула (9.1):

M · γn / ( Wn,min · Ry · γc ) ≤ 1

Wn,min здесь — наименьший момент сопротивления сечения нетто. Для прокатного двутавра без отверстий это табличный Wx; для двутавра № 20 Wx = 184 см³ = 184 000 мм³.

Для примера: 27,9·10⁶ · 1,05 / ( 184 000 · 250 · 1,0 ) = 0,64 ≤ 1. Прочность на изгиб обеспечена с запасом 36 %.

Расчёт с развитием ограниченных пластических деформаций (сечения 2-го класса, формула 9.10 с коэффициентом сх из приложения М) допускается для статических нагрузок при условиях п. 9.2.3. Класс сечения устанавливают по п. 5.3.6; в примере для простоты взята упругая работа (1-й класс), это даёт запас по сравнению с расчётом по (9.10).

Шаг 4. Прочность по касательным напряжениям

Формула (9.2):

Q · Sx · γn / ( Ix · tw · Rs · γc ) ≤ 1

Двутавр № 20: Sx = 104 см³, Ix = 1840 см⁴, tw = 5,2 мм. Касательные напряжения τ = 18,6·10³ · 104·10³ / ( 1840·10⁴ · 5,2 ) ≈ 20,2 Н/мм². Проверка: 20,2 · 1,05 / 144 = 0,15 ≤ 1.

На таких пролётах сдвиг почти никогда не определяющий. Его проверяют в опорных сечениях и там, где действуют значительные сосредоточенные силы.

Шаг 5. Общая устойчивость

Двутавровую балку 1-го класса проверяют по формуле (9.28), где φb — коэффициент устойчивости при изгибе по приложению Н:

M · γn / ( φb · Wcx · Ry · γc ) ≤ 1

Однако п. 9.4.4 освобождает от этой проверки в двух случаях:

• нагрузка передаётся через сплошной жёсткий настил (железобетонные плиты, профилированный металлический настил и т. п.), непрерывно опирающийся на сжатый пояс и надёжно с ним соединённый (п. 9.4.4, а);
• условная гибкость сжатого пояса λ̄b = ( lef / bf ) · √( Ryf / E ) не превышает предельной λ̄ub из таблицы 9.1 (п. 9.4.4, б).

lef — расстояние между точками закрепления сжатого пояса от горизонтальных перемещений (п. 9.4.2). Если закреплений нет, lef = l.

Для двутавра № 20 из стали С255 (E = 2,06·10⁵ Н/мм² по таблице Б.1): bf = 100 мм, tf = 8,4 мм, h0 = h − tf = 191,6 мм. Отношение bf / tf = 11,9 меньше 15, поэтому по примечанию 2 к таблице 9.1 в формулах принимают bf / tf = 15. Отношение h0 / bf = 1,92 лежит в допустимых пределах от 1 до 6.

Формулы таблицы 9.1 для λ̄ub:

(9.30) верхний пояс: λ̄ub = 0,35 + 0,0032·bf/tf + ( 0,76 − 0,02·bf/tf ) · bf/h0

(9.32) между связями или чистый изгиб: λ̄ub = 0,41 + 0,0032·bf/tf + ( 0,73 − 0,016·bf/tf ) · bf/h0

В примере принимаем, что нагрузку передаёт сплошной жёсткий настил, поэтому общая устойчивость обеспечена по п. 9.4.4, а и отдельной проверки по (9.28) не требует. Для сравнения в таблице три случая для двутавра № 20 на пролёте 6 м:

Раскрепление сжатого пояса связями или настилом рассчитывают на условную (или фактическую) поперечную силу (п. 9.4.5); для настила силы трения учитывать не следует (п. 9.4.4, а). Расчёт по приложению Н исходит из закрепления опорных сечений от поворота вокруг оси балки.

Что отсюда следует для примера

Без настила двутавр № 20 на 6 м не удовлетворяет условию п. 9.4.4, б. Устойчивость в этом случае нужно проверять по формуле (9.28) с φb по приложению Н. Выход проще: поставить настил, раскрепить пояс связями или взять сечение побольше.

Шаг 6. Местные напряжения (при необходимости)

Если на пояс опирается сосредоточенная нагрузка (скажем, другая балка) или в опорном сечении стенка не усилена ребром, стенку проверяют на местные напряжения по формулам (9.6) и (9.7): σloc = F / ( lef1 · tw ), условие σloc · γn / ( Ry · γc ) ≤ 1.

Расчётная длина площадки lef1 зависит от способа передачи нагрузки (формулы 9.8–9.9).

Шаг 7. Прогиб

Прогиб относится ко второй группе предельных состояний. Значения нагрузок, от которых его определяют, берут по пп. 4.7 и 4.10 ДБН В.1.2-2:2006: на это ссылается ДСТУ Б В.1.2-3. При ограничении по эстетико-психологическим требованиям это постоянные и длительные переменные нагрузки, а прогибы учитывают с полной ползучестью. Для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой:

f = 5 · qn · l⁴ / ( 384 · E · Ix )

В примере: f = 5 · 5,0 · 6000⁴ / ( 384 · 2,06·10⁵ · 1840·10⁴ ) ≈ 22,3 мм.

Предельный прогиб fu берут из таблицы 1 ДСТУ Б В.1.2-3:2006. Для балок и ферм перекрытий, открытых для обзора (эстетико-психологические требования, поз. 2, а), при пролёте l = 6 м fu = l/200 = 30 мм; для промежуточных пролётов значение интерполируют линейно (примечание 2).

Коэффициент надёжности по ответственности во второй группе предельных состояний (ДБН В.1.2-14, п. 7.6.4, таблица 5) для СС2 в установившейся расчётной ситуации равен 0,975 и умножается на эффект воздействия, в том числе на прогиб: f · γn = 22,3 · 0,975 ≈ 21,7 мм ≤ 30 мм, использовано 72 %. Прогиб отсчитывают от прямой, соединяющей опоры (п. 4.4). Нагрузка qn здесь — постоянные и длительные переменные (п. 4.3); кратковременные, например снег, в неё не входят.

Если под балкой стоят перегородки или на ней лежат стяжки и полы, которые растрескиваются, предельные прогибы и нагрузки для них задают другие строки таблицы 1 (например, l/150 для конструктивных требований). Строку подбирают по назначению перекрытия.

Итог примера

Все проверки примера в одном месте:

Типичные ошибки

• брать расчётное сопротивление листового проката для двутавра: для фасонного проката значения в таблице Г.2 отдельные;
• считать прогиб от расчётных нагрузок вместо нормативных (или наоборот, прочность от нормативных);
• забыть о расстоянии между связями при проверке устойчивости: lef не всегда равно пролёту;
• не учесть ослабление отверстиями под болты: в (9.1) стоит момент сопротивления нетто Wn,min;
• не указать на чертежах КМ категорию конструкций по приложению А, класс ответственности, принятый γn и срок эксплуатации (п. 5.1.3 ДБН В.2.6-198).

Когда нужна помощь с КМ и КМД

Сечение по этому порядку подбирают самостоятельно, а вот узлы, сварные швы и раскрепление нужно проверить отдельно и оформить в чертежах. Компания ПОЛИГОНАЛЬ разрабатывает чертежи КМ и КМД, изготавливает металлоконструкции и выполняет горячее цинкование.

Есть чертёж или эскиз: напишите нам или позвоните. Геометрию других профилей смотрите в справочнике металлопроката.

Нормативы, по которым составлена статья

• ДБН В.2.6-198:2014 «Сталеві конструкції. Норми проектування» (разделы 5, 7, 9, таблицы 5.1, 7.1, 7.2, Г.2, Б.1);
• ДБН В.1.2-14:2018 «Загальні принципи забезпечення надійності та конструктивної безпеки будівель і споруд» (п. 7.6.4, таблица 5);
• ДБН В.1.2-2:2006 «Навантаження і впливи»;
• ДСТУ Б В.1.2-3:2006 «Прогини і переміщення. Вимоги проектування» (действует с 01.01.2007; пп. 4.3, 5.1, таблица 1).