Расчёт стальной колонны по ДБН В.2.6-198:2014: расчётная длина, гибкость, устойчивость

Что проверяют в колонне

Для центрально-сжатой колонны проверок четыре:

• прочность сечения (п. 8.1.1, формула 8.1);
• устойчивость стержня при центральном сжатии (п. 8.1.3, формула 8.3): для колонн это, как правило, определяющая проверка;
• предельная гибкость (п. 13.4, таблица 13.9);
• местная устойчивость стенок и полок (п. 8.3): п. 8.1.3 прямо требует выполнения требований 8.3.2–8.3.8.

Если в колонне действует ещё и изгибающий момент (внецентренное сжатие), проверку выполняют по разделу 10 ДБН. Это отдельная тема, в этой статье её нет.

Исходные данные

Для расчёта нужны шесть величин. Откуда их брать и что принято в примере в конце статьи, видно из таблицы. Геометрию двутавра берут из сортамента двутавров.

О γn и γc в этом примере

Класс последствий СС2 и γc = 1,0 приняты условно. Для реального объекта их определяет проектировщик.

Две «категории» легко перепутать. «Категория ответственности» (А, Б, В), от которой зависит γn по ДБН В.1.2-14, — не то же самое, что «категория по назначению» (тоже А, Б, В) по п. 5.3.5 и таблице А.1 ДБН В.2.6-198.

Если нормы проектирования не распределяют конструкции по категориям ответственности, по примечанию 1 к таблице 5 ДБН В.1.2-14 принимают категорию Б (для СС2 γn = 1,050). Для колонн общественных зданий таблица 5.1 ДБН В.2.6-198 (поз. 2) даёт γc = 0,95, для колонн одноэтажных производственных зданий с мостовыми кранами (поз. 3) — 1,05.

Шаг 1. Расчётная длина

Расчётная длина колонны постоянного сечения (п. 13.3.1, формула 13.2):

lef = μ · lc

Здесь μ — коэффициент расчётной длины, зависящий от закрепления концов. Другие схемы (неравномерная нагрузка, упругое закрепление концов, колонны рам) ищите в таблице 13.7, пп. 13.3.4–13.3.7 и приложении Р, а расчётные длины ступенчатых колонн — в п. 13.3.8 и приложении С.

В разных плоскостях расчётная длина может быть разной: в плоскости рамы колонна защемлена, а из плоскости шарнирна. Из плоскости lef рекомендовано принимать равной расстоянию между узлами, удерживающими колонну от горизонтальных перемещений: опоры колонны, подкрановые балки, узлы связей и ригелей и т. п. (п. 13.3.10). В примере ниже связи или прогоны фахверка сокращают lef из плоскости вдвое.

Для основных схем таблица 13.7 даёт такие значения μ:

Шаг 2. Гибкость и условная гибкость

Гибкость стержня в каждой из главных плоскостей и условная гибкость, которая входит в формулы коэффициента φ:

λ = lef / i; λ̄ = λ · √( Ry / E )

Модуль упругости прокатной стали E = 2,06·10⁵ Н/мм² (таблица Б.1). Проверяют обе плоскости. Расчётной будет та, где φ меньше, а это, как правило, плоскость относительно оси с меньшим радиусом инерции.

Шаг 3. Тип кривой устойчивости

В зависимости от формы сечения берут кривую устойчивости a, b или c (таблица 8.1). Коэффициенты α и β для каждой кривой приведены ниже.

Примечание к таблице 8.1: для прокатных двутавров высотой более 500 мм при расчёте на устойчивость в плоскости стенки принимают тип кривой a.

Шаг 4. Коэффициент устойчивости φ

Для условной гибкости λ̄ ≥ 0,4 коэффициент φ вычисляют по формуле (8.4) со вспомогательным коэффициентом δ по формуле (8.5):

φ = 0,5 / λ̄² · ( δ − √( δ² − 39,48 · λ̄² ) )

δ = 9,87 · ( 1 − α + β·λ̄ ) + λ̄²

Значение φ, вычисленное по (8.4), не следует брать большим 7,6 / λ̄² для кривой a при λ̄ > 3,8, для кривой b при λ̄ > 4,4 и для кривой c при λ̄ > 5,8. При λ̄ < 0,4 для всех кривых допускается принимать φ = 1,0.

Считать можно и не вручную: φ берут из таблицы Ж.1 приложения Ж. Значения в таблице увеличены в 1000 раз, а между табличными λ̄ выполняют линейную интерполяцию.

Шаг 5. Проверка устойчивости

Формула (8.3):

N · γn / ( φ · A · Ry · γc ) ≤ 1

Здесь A — площадь сечения брутто, а φ — меньшее из двух значений, найденных по обеим главным осям.

Шаг 6. Проверка прочности

Формула (8.1) для стали с Ryn ≤ 440 Н/мм²:

N · γn / ( An · Ry · γc ) ≤ 1

Здесь An — площадь сечения нетто. Для сплошной колонны без отверстий An = A. На практике определяющей чаще бывает устойчивость, но у очень массивных коротких колонн (λ̄ < 0,4, φ = 1) запас по прочности невелик.

Шаг 7. Предельная гибкость

Гибкость λ не должна превышать предельной λu по таблице 13.9. Ниже дана формула для основных колонн (поз. 4; для других элементов в таблице другие позиции). Величина α здесь отдельная, это не то же самое, что α в таблице 8.1:

λu = 180 − 60 · α

α = N / ( φ · A · Ry · γc ) ≥ 0,5 (без γn, по примечанию к таблице 13.9)

Предельную гибкость по п. 13.4.2 можно увеличить на 10 % для элементов категории по назначению В (таблица А.1) в сооружениях классов ответственности СС3 и СС2, а также для всех элементов сооружений класса СС1. Основные элементы колонн производственных зданий имеют категорию по назначению А (таблица А.1, поз. 4, а), поэтому для них при СС2 это увеличение не применяют.

Пример: двутавр № 30, колонна 4 м

Условия: N = 600 кН, шарнирное закрепление на обоих концах в обеих плоскостях (μ = 1,0), lc = 4 м. Двутавр № 30 (ДСТУ 8768:2018): A = 46,5 см² = 4650 мм², Ix = 7080 см⁴, ix = 123 мм, Iz = 337 см⁴, iz = 26,9 мм. Сталь С255, толщина полки 10,2 мм, Ry = 240 Н/мм²; E = 2,06·10⁵ Н/мм²; кривая b (двутавр): α = 0,04, β = 0,09.

Прочность (8.1): 600·10³ · 1,05 / ( 4650 · 240 · 1,0 ) = 0,56 ≤ 1.

Сильная ось x–x. lef = 4000 мм; λx = 4000 / 123 = 32,5; λ̄x = 32,5 · √(240 / 206 000) = 1,11. По (8.4)–(8.5) φx = 0,937. По таблице Ж.1 имеем 0,948 при λ̄ = 1,0 и 0,927 при 1,2, и интерполяция даёт то же самое.

Слабая ось z–z без раскрепления. lef = 4000 мм; λz = 4000 / 26,9 = 148,7; λ̄z = 148,7 · √(240 / 206 000) = 5,08. По формуле (8.4) φ = 0,311, но для кривой b при λ̄ > 4,4 φ не следует брать большим 7,6 / λ̄² = 0,295, поэтому принимаем φ = 0,295. По таблице Ж.1 после интерполяции выходит то же (0,304 при 5,0 и 0,281 при 5,2). Проверка (8.3): 600·10³ · 1,05 / ( 0,295 · 4650 · 240 ) = 1,91 > 1, то есть устойчивость не обеспечена.

Слабая ось с раскреплением посередине высоты (связи или прогоны фахверка; lef,z = 2000 мм — расстояние между узлами закрепления из плоскости, п. 13.3.10). Это справедливо для равномерного продольного усилия; в остальных случаях расчётную длину определяют по приложению Р. λz = 2000 / 26,9 = 74,3; λ̄z = 2,54; φz = 0,734 (таблица Ж.1: 0,760 при 2,4 и 0,722 при 2,6). Проверка (8.3): 600·10³ · 1,05 / ( 0,734 · 4650 · 240 ) = 0,77 ≤ 1, устойчивость обеспечена. Сильная ось даёт 600·10³ · 1,05 / ( 0,937 · 4650 · 240 ) = 0,60, так что она менее опасна, и расчётной является слабая.

Предельная гибкость (таблица 13.9, поз. 4): α = 600·10³ / ( 0,734 · 4650 · 240 ) = 0,73, λu = 180 − 60 · 0,73 = 136. Гибкости λz = 74,3 и λx = 32,5 меньше предельной, условие выполняется. Увеличение на 10 % по п. 13.4.2 для основных колонн категории А не применено.

Местную устойчивость стенки и полок (п. 8.3) в примере не проверяем: её выполняют отдельно по требованиям 8.3.2–8.3.8.

Результаты примера

Колонна из двутавра № 30 на 4 м под нагрузкой 600 кН проходит по прочности с запасом, но без раскрепления из плоскости меньшей жёсткости устойчивость не обеспечена. Это типичная ловушка: площадь и прочность считают, а про слабую ось забывают.

Типичные ошибки

• проверять устойчивость только относительно оси x–x: расчётной бывает слабая ось z–z;
• брать μ = 1 для всех случаев: для защемлённой внизу консольной колонны lef = 2,0·lc, и φ резко падает;
• не учитывать промежуточные закрепления из плоскости рамы (фахверк, связи, прогоны): они сокращают lef в одной плоскости;
• брать φ по кривой b для круглых труб и замкнутых прямоугольных профилей: для них кривая a, и она даёт больший φ;
• забыть про γc и γn или принимать их «по привычке», не сверяясь с таблицей 5.1 и ДБН В.1.2-14;
• не проверять предельную гибкость: λ не должна превышать 180 − 60α (с учётом п. 13.4.2).

Что с фундаментом

Колонна из примера (шарнирные концы, центральное сжатие) передаёт на фундамент продольную силу N. Если концы колонны защемлены, добавляются момент и поперечная сила; все эти усилия являются исходными данными для анкерных болтов и закладных деталей.

Нормативы, по которым составлена статья

• ДБН В.2.6-198:2014 «Стальные конструкции. Нормы проектирования» (пп. 8.1, 13.3, 13.4, таблицы 5.1, 8.1, 13.7, 13.9, Б.1, Г.2, Ж.1);
• ДБН В.1.2-14:2018 «Общие принципы обеспечения надёжности и конструктивной безопасности зданий и сооружений» (таблица 5, значения γn).

Подобрать сечение и прикинуть массу можно по справочнику металлопроката и калькулятору веса металлопроката.

Когда нужна помощь с КМ и КМД

Мы изготавливаем металлоконструкции и разрабатываем чертежи КМ и КМД: об этом на страницах разработка КМ и КМД и изготовление металлоконструкций. Расчёт колонны, как в этой статье, выполняет проектировщик объекта; мы работаем с его результатами.

Пришлите чертёж или схему, и мы обсудим задачу.