Расчёт стальной фермы по ДБН В.2.6-198:2014: усилия, расчётные длины, устойчивость, прогиб

Что проверяют в ферме

Для плоской фермы с шарнирными узлами выполняют такие проверки:

• усилия в стержнях от узловой нагрузки (статический расчёт);
• прочность растянутых элементов (п. 8.1.1, формула 8.1);
• устойчивость сжатых элементов (п. 8.1.3, формулы 8.3–8.5) с расчётными длинами по таблице 13.1;
• предельную гибкость сжатых и растянутых элементов (таблицы 13.9 и 13.10);
• прогиб фермы (ДСТУ Б В.1.2-3:2006).

Узлы и сварные соединения проверяют отдельно. Для узлов, где решётка прикреплена к поясам непосредственно, такая проверка обязательна по п. 17.3.5 ДБН (приложение Ф — справочное). В этой статье узлы не рассматриваются.

Расчётная схема — шарнирные узлы и нагрузка, приложенная в узлах. Если нагрузка действует между узлами (например, прогоны опираются не в узлы), пояс дополнительно работает на изгиб, и его проверяют уже как внецентренно сжатый элемент (раздел 10). Это отдельная тема.

Исходные данные

Перед расчётом собирают шесть групп данных. В таблице показано, откуда их берут и что принято в примере. Профили подбирают по сортаменту квадратных труб и прямоугольных труб, а массу и сечения быстро сверяет справочник металлопроката.

Схема, нагрузки, сечения, класс СС2 и γc = 1,0 приняты условно, для иллюстрации. Расчёт по шарнирной схеме допускается, если отношение высоты сечения к длине элемента невелико (для трубчатых сечений h/l ≤ 0,1, п. 17.3.2; в примере h/l = 0,04 для поясов) и оси элементов центрированы в узлах (п. 17.3.1).

Шаг 1. Усилия в стержнях

Для фермы с шарнирными узлами усилия находят из равновесия узлов или сечений (способ Риттера). Для поясов с параллельной геометрией усилие в поясе вблизи середины пролёта приблизительно равно:

N пояса = M / h

Здесь M — момент в сечении от внешних сил, как в простой балке, h — высота фермы. В примере реакция опоры равна 60 кН, а момент посередине M = 60·6 − 20·(5 + 3 + 1) = 180 кН·м. Отсюда усилие в средних панелях поясов 180 / 1,5 = 120 кН: верхний пояс сжат, нижний растянут. Усилия во всех стержнях, найденные из равновесия узлов, сведены в таблицу.

«+» — растяжение, «−» — сжатие. Расчётные усилия для выбора сечений берут как максимальные в группе: в примере это 120 кН в поясах, 72,1 кН в опорных раскосах и 48,1 кН в остальных раскосах. Для реальной фермы усилия находят в расчётной программе, причём для всех сочетаний нагрузок.

Шаг 2. Расчётные длины

Расчётная длина сжатого элемента плоской фермы зависит от двух вещей: изгибается ли он в плоскости фермы (lef) или из неё (lef,1), и как прикреплена решётка (таблица 13.1). Ниже — коэффициенты для ферм, где решётка приварена к поясам вплотную, без фасонок, как в сварных фермах из профильных труб, а пояса имеют замкнутое сечение.

Здесь l — расстояние между центрами ближайших узлов в плоскости фермы, l1 — расстояние между узлами, закреплёнными от смещения из плоскости фермы. Закрепляют их пояса ферм, специальные связи, жёсткие плиты покрытия, прикреплённые сварными швами или болтами. Прогоны удерживают пояс только тогда, когда сами опираются на систему связей или на жёсткий диск покрытия.

Для ферм из уголков и ферм с фасонками коэффициенты другие: они стоят в других позициях таблицы 13.1, а для одиночных уголков есть ещё и п. 13.1.4. Какая позиция соответствует конкретному узлу, определяет проектировщик.

Переменное усилие вдоль пояса

Если между закреплёнными узлами пояс сжимается разными усилиями N1 и N2 (N1 > N2), длину из плоскости уточняют по формуле (13.1), а устойчивость проверяют на N1:

lef,1 = ( 0,75 + 0,25 · N2 / N1 ) · l1

Шаг 3. Растянутые элементы

Прочность растянутого элемента без ослаблений проверяют по формуле (8.1):

N · γn / ( An · Ry · γc ) ≤ 1

Нижний пояс 80×80×4: 120·10³ · 1,0 / ( 1175 · 240 · 1,0 ) = 0,43 ≤ 1 (площадь в мм²). Растянутые раскосы 50×50×4: 48,1·10³ / ( 695 · 240 ) = 0,29 ≤ 1.

Шаг 4. Сжатые элементы

Для каждого сжатого стержня определяют гибкость в двух плоскостях, λ = lef / i и λef,1 = lef,1 / i, условную гибкость λ̄ = λ · √( Ry / E ) (E = 2,06·10⁵ Н/мм², таблица Б.1) и коэффициент устойчивости φ по формулам (8.4) и (8.5):

φ = 0,5 / λ̄² · ( δ − √( δ² − 39,48 · λ̄² ) ); δ = 9,87 · ( 1 − α + β·λ̄ ) + λ̄²

Для труб и замкнутых прямоугольных профилей действует кривая устойчивости типа a (таблица 8.1): α = 0,03; β = 0,06. Здесь α — параметр кривой, его не следует путать с α в таблице 13.9. При λ̄ > 3,8 коэффициент φ не принимается больше 7,6 / λ̄² для кривой a. Расчётным служит меньшее из двух значений φ.

Сама проверка выполняется по формуле (8.3):

N · γn / ( φ · A · Ry · γc ) ≤ 1

Формула (8.3) применима, когда выполнены требования 8.3.2–8.3.8 по местной устойчивости стенок. Их проверяют отдельно по таблице 8.3. В примере ниже эти требования для принятых сечений считаем выполненными.

Шаг 5. Предельная гибкость

Устойчивость может быть в норме, а гибкость стержня всё равно слишком велика. По таблице 13.9 для сжатых элементов плоских ферм из труб или парных уголков предельная гибкость такая:

• пояса и опорные раскосы, передающие опорные реакции (высотой до 50 м): λu = 180 − 60α;
• прочие элементы ферм из труб: λu = 210 − 60α;
• верхние пояса, не закреплённые при монтаже: λu = 220 (после монтажа — по первой позиции).

Здесь α = N / ( φ · A · Ry · γc ) (без γn, согласно примечанию к таблице 13.9), но не менее 0,5. В таблице речь идёт о трубах. Распространяется ли позиция на гнутые замкнутые прямоугольные профили, норма прямо не говорит, поэтому в примере они приняты как трубы; окончательно это решает проектировщик.

Для элементов категории В в сооружениях СС3 и СС2, а также для всех элементов сооружений СС1 предельную гибкость допускается увеличить на 10 % (п. 13.4.2).

Для растянутых элементов статически нагруженных ферм (таблица 13.10) предельная гибкость — 400 (позиции 1 и 2). Если в элементе может меняться знак усилия, её берут как для сжатых (примечание 4). В примере раскосы работают то на растяжение, то на сжатие в зависимости от нагрузки. Для конструкций без динамических воздействий гибкость растянутых элементов проверяют только в вертикальных плоскостях (примечание 1 к таблице 13.10).

Шаг 6. Прогиб

Прогиб фермы находят от нагрузок, которые ДСТУ Б В.1.2-3 предписывает для соответствующего требования. Для эстетико-психологических требований это постоянные и длительные переменные нагрузки (пп. 4.3 и 5.1); кратковременные, как снег, не входят. Прогиб отсчитывают от прямой, соединяющей опоры (п. 4.4).

Искать его удобно методом единичной нагрузки (интегралом Мора). Единичную силу прикладывают там, где нужен прогиб (для фермы — посередине нижнего пояса), находят усилия Ni от нагрузки и ni от единичной силы и суммируют по всем стержням:

f = Σ ( Ni,n · ni · li ) / ( E · Ai )

Предельный прогиб берётся из таблицы 1 ДСТУ Б В.1.2-3:2006 (балки, фермы, ригели покрытий, открытые для обзора, поз. 2, а). В примере при пролёте l = 12 м и высоте помещения до 6 м (примечание 3 к таблице) принято fu = l/250 = 48 мм; для других пролётов значения интерполируют линейно (примечание 2). Если условия работы требуют других предельных прогибов (технологических, конструктивных), их берут из соответствующих строк таблицы.

Пример: ферма 12 м из профильных труб

Верхний пояс 80×80×4, N = 120 кН, прогоны в каждом узле. Здесь lef = l = 2000 мм и lef,1 = l1 = 2000 мм. λ = 2000 / 30,7 = 65,1; λ̄ = 65,1 · √(240 / 206 000) = 2,22. По (8.4)–(8.5) φ = 0,848 (по таблице Ж.1: 0,851 при 2,2 и 0,820 при 2,4, интерполяция даёт 0,848). Проверка (8.3): 120·10³ / ( 0,848 · 1175 · 240 ) = 0,50 ≤ 1. Предельная гибкость: α = 0,50, λu = 180 − 60·0,50 = 150; λ = 65,1 < 150.

Теперь те же пояса, но прогоны стоят через узел (l1 = 4000 мм). λ = 4000 / 30,7 = 130,3; λ̄ = 4,45; φ = 7,6 / λ̄² = 0,384 (по таблице Ж.1: 0,393 при 4,4 и 0,359 при 4,6). Проверка (8.3): 120·10³ / ( 0,384 · 1175 · 240 ) = 1,11 > 1, то есть устойчивость не обеспечена. К тому же λ = 130 превышает предельную λu = 180 − 60·1,11 = 113,4. Уточнение длины по формуле (13.1) для такой схемы немного снижает использование, но вывод тот же.

Опорный раскос 60×60×4, N = −72,1 кН. lef = l = 1803 мм, lef,1 = l1 = 1803 мм; λ = 1803 / 22,6 = 79,8; λ̄ = 2,72; φ = 0,762. Проверка (8.3): 72,1·10³ / ( 0,762 · 855 · 240 ) = 0,46 ≤ 1; λu = 180 − 60·0,50 = 150 > 79,8.

Раскос 50×50×4, N = −48,1 кН. Для остальных элементов решётки lef = 0,9 l = 1623 мм (в плоскости) и lef,1 = 0,9 l1 = 1623 мм (из плоскости); λ = 1623 / 18,5 = 87,7; λ̄ = 2,99; φ = 0,706. Проверка (8.3): 48,1·10³ / ( 0,706 · 695 · 240 ) = 0,41 ≤ 1; λu = 210 − 60·0,50 = 180 > 87,7.

Растянутые элементы (шаг 3): нижний пояс 0,43, растянутые раскосы 0,29. Предельная гибкость. Нижний пояс растянут без смены знака: в вертикальной плоскости λ = 2000 / 30,7 = 65, что значительно меньше 400. Раскосы 50×50×4 работают то на растяжение, то на сжатие, поэтому по примечанию 4 к таблице 13.10 для них принимают предел как для сжатых: λu = 210 − 60α = 180. Гибкость раскосов λ = 1623 / 18,5 = 87,7 (как в расчёте устойчивости) меньше 180.

Прогиб (шаг 6) при нормативной Pn = 16 кН: Σ( Ni,n · ni · li ) / ( E · Ai ) = 10,6 мм. С учётом γn = 0,975 (ДБН В.1.2-14, таблица 5, установившаяся расчётная ситуация, вторая группа предельных состояний, СС2) получаем 10,3 мм ≤ fu = 48 мм, то есть использовано 21 %.

Итоги проверок

Результаты сведены в таблицу. Ферма с сечениями 80×80×4 в поясах и 60×60×4 и 50×50×4 в решётке проходит все проверки, если прогоны раскрепляют верхний пояс в каждом узле. Когда прогоны стоят только через узел, верхний пояс не держит устойчивость из плоскости фермы.

Типичные ошибки

• брать lef,1 по длине пояса между опорами вместо расстояния между узлами, закреплёнными из плоскости фермы;
• пользоваться коэффициентами таблицы 13.1 не из той позиции: для ферм, где решётка прикреплена вплотную, и для ферм с фасонками они разные;
• принимать для замкнутых профилей кривую устойчивости b, хотя для труб и замкнутых прямоугольных профилей действует кривая a;
• забывать о предельной гибкости: сжатый стержень может иметь запас по прочности и устойчивости, но превышать λu;
• не проверять верхний пояс на период монтажа, когда прогоны ещё не установлены (таблица 13.9, третья позиция: λu = 220);
• не сверять прогиб с нужной строкой ДСТУ Б В.1.2-3: предельные значения зависят от требований (эстетико-психологические, конструктивные, технологические).

Нормативы, по которым составлена статья

• ДБН В.2.6-198:2014 «Стальные конструкции. Нормы проектирования» (пп. 7.3, 8.1, 13.1, 13.4, таблицы 5.1, 8.1, 13.1, 13.9, 13.10, Б.1, Г.2, Ж.1);
• ДБН В.1.2-14:2018 «Общие принципы обеспечения надёжности и конструктивной безопасности зданий и сооружений» (таблица 5, значения γn);
• ДСТУ Б В.1.2-3:2006 «Прогибы и перемещения. Требования проектирования» (таблица 1, примечания 2 и 3).

Когда нужна помощь с КМ и КМД

Несущая способность фермы зависит от узлов и швов не меньше, чем от стержней. Компания ПОЛИГОНАЛЬ разрабатывает чертежи КМ и КМД (о них — в направлении разработка КМ и КМД), а также изготавливает металлоконструкции по чертежам заказчика или по собственному проекту, выполняет горячее цинкование и порошковую окраску.

Если схема уже есть, пришлите её: уточним, что нужно до изготовления. Монтаж выполняет партнёрская строительная компания.